Los ceros de un polinomio son los valores de x que hacen que el polinomio se anule, es decir, que p(x) = 0. Si p(x) es un polinomio, entonces a es un cero si p(a) = 0.
Ejemplos simples
p(x) = x² + 3x − 10, entonces p(−5) = 0, por lo tanto, −5 es un cero.
p(x) = x³ + 3x² − x − 3, entonces p(−1) = 0, por lo tanto, −1 es un cero.
Ejemplo con factorización
Dado p(x) = (x+3)(x−2)(x−5), para encontrar sus ceros aplicamos la propiedad del producto cero:
x + 3 = 0 → x = −3x − 2 = 0 → x = 2x − 5 = 0 → x = 5
Entonces, los ceros del polinomio son −3, 2 y 5.
Diferencia de cuadrados
Un patrón útil en factorización es la diferencia de cuadrados:
(a + b)(a − b) = a² − b²
Ejemplos:
(2x+3)(2x−3) = 4x² − 9
(x+5)(x−5) = x² − 25
Otro ejemplo completo
Dado p(x) = x³ + 2x² − 25x − 50, agrupamos y factorizamos:
p(x) = x²(x+2) − 25(x+2)
= (x² − 25)(x + 2)
= (x+5)(x−5)(x+2)
Usamos la propiedad del producto cero:
x + 5 = 0 → x = −5x − 5 = 0 → x = 5x + 2 = 0 → x = −2
Así, los ceros de p son −5, 5 y −2.
En resumen, si puedes factorizar un polinomio en productos de factores lineales, ¡encontrar los ceros es inmediato!
Intercepciones x y ceros de un polinomio
En una gráfica donde el eje horizontal es x y el eje vertical es y, los ceros de una función (o valores donde y = 0) se encuentran en los puntos donde la gráfica cruza el eje x.
Un polinomio, al ser una función, también es cero en estos puntos. Por ejemplo, si la gráfica de un polinomio cruza el eje x en x = −6, x = 1 y x = 5, esos son sus ceros.
Por lo tanto, las intercepciones x del polinomio son los puntos (−6, 0), (1, 0) y (5, 0).
Una función es cero donde su gráfica cruza el eje horizontal.