Ecuaciones cuarticas

Método de Ferrari - Ecuaciones Cuárticas

Matemáticas

Este método tiene su fundamento teórico en la factorización algebraica avanzada.

Se utiliza para resolver ecuaciones polinómicas de cuarto grado de la forma:

a x⁴ + b x³ + c x² + d x + e = 0

Fue desarrollado por Ludovico Ferrari en el siglo XVI, alumno de Gerolamo Cardano, y es el primer método conocido para obtener una fórmula general que resuelve ecuaciones cuárticas, el procedimiento de Ferrari convierte la ecuación original en una forma que puede ser reducida a una ecuación cuadrática mediante el uso de una variable auxiliar y un cambio de variable inicial.

El algoritmo para resolver una ecuación cuártica por el método de Ferrari se basa en los siguientes puntos:

  1. Eliminar el término cúbico mediante un cambio de variable (normalmente x = y - b/(4a)).
  2. Reescribir la ecuación resultante como un cuadrado de binomio.
  3. Introducir una variable auxiliar z que permite completar un trinomio cuadrado perfecto.
  4. Resolver la ecuación cúbica auxiliar para determinar el valor adecuado de z.
  5. Usar este valor para factorizar la ecuación cuártica en dos ecuaciones cuadráticas.
  6. Resolver ambas ecuaciones cuadráticas para obtener las raíces finales.

Este método permite obtener todas las raíces reales y complejas de una ecuación de cuarto grado.

EJEMPLO 1

f(x) = x⁴ − 2x³ − 5x² + 10x − 3

  • Raíz 1: 2.3094 (real)
  • Raíz 2: 0.4473 (real)
  • Raíz 3: -0.3784 + 1.2347i (compleja)
  • Raíz 4: -0.3784 − 1.2347i (compleja)

El intervalo [-2, 4]

 

EJEMPLO 2

\(f\left(x\right)=x^{4}-4x^{2}+3\)

  • Raíz 1: 3≈1.732 \sqrt{3} \approx 1.732

  • Raíz 2: −3≈−1.732 -\sqrt{3} \approx -1.732

  • Raíz 3: 1 1

  • Raíz 4: −1 -1


El intervalo: [ − 3 , 3 ] [-3,\ 3]


                                                                        

EJEMPLO 3

f ( x ) = x4 − 2 x3 − x2 + 4 x − 2 f(x) = x^{4} - 2x^{3} - x^{2} + 4x - 2

  • Raíz 1: x≈1.801 x \approx 1.801

  • Raíz 2: x≈0.552 x \approx 0.552

  • Raíz 3: x≈−0.176+0.597i x \approx -0.176 + 0.597i (compleja)

  • Raíz 4: x≈−0.176−0.597i x \approx -0.176 - 0.597i (compleja)

El intervalo [−2,3] [-2, 3]

EXPLICACIÓN DE CODIGO 



  
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
#EJEMPLO 1
# Coeficientes de la ecuación: x^4 - 2x^3 - 5x^2 + 10x - 3
coef = [1, -2, -5, 10, -3]

# Obtener raíces
raices = np.roots(coef)

# Mostrar raíces
print("Raíces de la ecuación x⁴ - 2x³ - 5x² + 10x - 3 = 0:")
for i, r in enumerate(raices, 1):
    print(f"Raíz {i}: {r}")

# Graficar la función
x_vals = np.linspace(-2, 4, 400)
y_vals = np.polyval(coef, x_vals)

plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.plot(x_vals, y_vals, label="f(x)", color="blue")
plt.axhline(0, color="black", linestyle="--")
plt.title("Ecuación cuártica: $x^4 - 2x^3 - 5x^2 + 10x - 3$")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("f(x)")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()

Unidad 2 2025